04/12/2017
admin

ABBA, karne i teoria gier

Do czego sportowcom nauka, już objaśnialiśmy: modelowanie statystyczne i modele wyceny pozwalają podejmować poprawniejsze decyzje sportowe i biznesowe. Ale czy taka na przykład piłka nożna może przydać się naukowcowi? Okazuje się, że na wiele sposobów. Jeden z bardziej spektakularnych przykładów dotyczy wykorzystania danych piłkarskich do przetestowania przewidywań teorii gier. Talmud pisze, że pies nie tknie zębami uczonego człowieka, ale czy pies czyta talmud? Czy gracze skłonni są postępować zgodnie z przewidywaniami teorii gier? Szczególne wątpliwości można mieć w przypadku gier bez tzw. równowagi w strategiach czystych. Jeśli pewna strategia pierwszego gracza i pewna strategia drugiego gracza są najlepszymi odpowiedziami na siebie nawzajem, można się po nich spodziewać, że będą je wybierać (w szczególności jeśli istnieje tylko jedna taka para strategii). Czasem jednak wcale nie ma takiej pary i najlepiej jest wybierać losowo spośród kilku strategii. Trywialnym przykładem jest gra papier-nożyce-kamień: najlepsza strategia polega na tym by w każdej kolejnej grze wybierać niezależnie od poprzednich wyborów (zawsze papier, nożyce lub kamień z jednakowym prawdopodobieństwem). Jeśli od tej strategii odstąpimy, a przeciwnik się połapie, będzie mógł to obrócić na naszą niekorzyść. Jeśli np. będziemy zbyt często grać „nożyce”, przeciwnik częściej wygra, wybierając „kamień”. Podobnie, jeśli nawet częstości wykorzystania poszczególnych strategii będą jednakowe, ale losowania nie będą niezależne (np. systematycznie po „papierze” zbyt często będą „nożyce”), przeciwnik może ten wzorzec wykorzystać. W wielu bardziej naturalnych a mniej sformalizowanych „grach” – w życiu prywatnym czy biznesie – także lepiej jest pozostać nieprzewidywalnym (choć niekoniecznie każdej strategii winniśmy przypisywać to samo prawdopodobieństwo).

Ze strategiami mieszanymi związane są jednak liczne problemy. Po pierwsze, nie ma zgody co do tego jak je interpretować. Czy różne akcje wybierają (odrobinę?) różni (ale na oko nieodróżnialni) gracze czy raczej konkretny gracz explicité zawierza ślepemu losowi (czyli randomizuje)? Po drugie, czy gracze potrafią w ogóle poprawnie randomizować? Eksperymenty wskazują na przykład, że rzucanie w myślach monetą jest bardzo trudne: większość osób zbyt często przeplata orły z reszkami, bo ORORROOROR wydaje się „bardziej losowe” niż OOORROOOOO, choć mają jednakowe prawdopodobieństwo realizacji w dziesięciu rzutach uczciwą monetą. Po trzecie, jednorazowe odstąpienie od równowagowej strategii mieszanej nic nie kosztuje (jeśli zaś przeciwnik nie miesza poprawnie, to nawet na – właściwym – odstąpieniu od naszej równowagowej strategii zarobimy, jak to wspomniano wcześniej). Można więc podejrzewać, że w praktyce równowaga w strategiach mieszanych będzie trudna do osiągnięcia i mało stabilna. Istotnie, większość sytuacji „życiowych” jest zbyt złożonych i niepowtarzalnych by można je było rozsądnie analizować.

Po tym teoretycznym wstępie wróćmy na boisko, bo fantastyczne poletko badawcze stanowią rzuty karne: ponieważ piłka leci tylko ułamek sekundy, zasadniczo bramkarz musi wybrać czy rzucić się w lewo czy w prawo zanim zdąży zobaczyć, w którą stronę strzelono. Oczywiście szanse na to, że piłka zatrzepocze w siatce są ogromne gdy bramkarz rzuci się w złą stronę i tylko umiarkowane gdy w dobrą (a konkretne wartości można odczytać z danych). Możemy przyjąć, że jedynym celem wykonującego karny jest by padła bramka, a bramkarza – wręcz przeciwnie (tzw. gra o sumie zerowej). Otrzymujemy grę jednoczesną z precyzyjnie określonymi wypłatami graczy. Jeśli Lewandowski zawsze strzelałby przy lewym słupku, każdy bramkarz rzucałby się w ciemno w tę stronę. Oczywiście wtedy Lewandowskiemu opłacałoby się strzelać raczej w przeciwną itd. Równowagi bez mieszania strategii zatem nie znajdziemy. Ale możemy szukać równowagi w strategiach mieszanych, tj. obliczyć z jakimi prawdopodobieństwami strzelec, a z jakim bramkarz, powinni wybierać opcje „lewo” i „prawo”. Można zatem sprawdzić czy gracze faktycznie wybierają poszczególne strategie właściwie często. Ponadto, można przetestować czy kolejne wykonania są niezależne (czy też np. strzelający zbyt często zmieniają: lewo-prawo-lewo-prawo itd.). Choć mniej zaznajomiony z teorią gier komentator i tak będzie się upierać, że bramkarz „wyczuł” intencje strzelającego albo że mu się to nie udało, okazuje się, że to właśnie teoriogrowy model przewidujący wykorzystanie strategii mieszanych, daje poprane przewidywania. Istotnie, przynajmniej w czołowych ligach świata, częstości wyborów „lewo” i „prawo” są z tym modelem zgodne, a kolejne wybory są niezależne (na marginesie: do podobnych wniosków prowadzą analogiczne badania nad serwami tenisowymi). Co ciekawe i zgodne z przypuszczeniami, sprawy mają się nieco gorzej w słabszych ligach, z mniej doświadczonymi zawodnikami. Pewien rozdźwięk pomiędzy teorią a praktyką powstaje także, gdy uwzględnimy (mniej istotne) strategie: nie rzucania się wcale i strzelania w środek bramki. Są one wybierane nieco rzadziej niż by przewidywała teoria, być może dlatego, że bramkarz który wcale się nie rzucił (podczas gdy piłka poleciała przy słupku), jak również gracz pola, który strzelił w środek (i bramkarz obronił) wyglądają szczególnie głupio. To by sugerowało, że gra w strzelanie karnych nie jest ściśle biorąc grą o sumie zerowej. Nie wiadomo także jak właściwie gracze „randomizują”. Niektórzy z nich twierdzą, że biegnąc do piłki nie wiedzą jeszcze, w którą stronę strzelą.

Co ciekawe, dane z rzutów karnych mogą także prowadzić do zakwestionowania racjonalności piłkarzy. Jak wiadomo każdemu, kto nie spędził ostatnich 50 lat w zakonie klauzurowym na Alfa Centauri, niektóre mecze (i niektóre dwumecze) piłkarskie nie mogą zakończyć się remisem. Jeśli po regulaminowych 90 minutach i dogrywce wciąż nie ma rozstrzygnięcia, strzelana jest seria rzutów karnych. Są one wykonywane przez zawodników przeciwnych drużyn na przemian. O tym, która z drużyn ma zacząć, decyduje rzut monetą. Otóż okazuje się, że, choć ostatecznie każda z drużyn ma tyle samo szans na strzelenie bramki, losowanie ma spore znaczenie. Istotnie, jak pokazują statystyki, w ok. 60% przypadków wygrywa drużyna, która strzela jako pierwsza. Zjawisko to na ogół interpretuje się w kategoriach presji psychicznej spoczywającej na zawodnikach pola muszących „gonić wynik” (bo zdecydowana większość karnych i tak statystycznie wpada do bramki). Może psycholog drużyny powinien zatykać uszy i zasłaniać oczy zawodnikom czekającym na swoją kolej?

Tymczasem jednak międzynarodowe federacje piłkarskie zorientowały się w problemie i testują zastąpienie obecnego sytemu naprzemiennego (ABAB) znanym z tie-breaków tenisowych systemem ABBA (w którym gonić musi raz jedna, raz druga drużyna). Niestety wybór padł na wciąż nieoptymalną procedurę. Rozważania teoretyczne i eksperymenty dowodzą bowiem, że przewaga wynikająca z losowania byłaby zminimalizowana nie po serii ABBAABBAABBAABBA… a po ABBABAABBAABABBA… (to tzw. ciąg Thuego-Morse’a, mający skąd inąd wiele ciekawych własności i zastosowań w pozornie odległych od siebie zagadnieniach matematycznych). Działacze okazują się więc nie być bardziej racjonalni niż zawodnicy. Można tylko odetchnąć z ulgą, że reformy karnych nie zlecono tym, którzy wymyślali ranking FIFA. Ale to już temat na osobną opowieść.

GRAPE | Tłoczone z Danych – Dziennik Gazeta Prawna (4 Grudnia 2017)